Какой закон распределения вероятностей описывает случайную величину X, представляющую количество извлеченных красных

В данной задаче случайная величина X, представляющая количество извлеченных красных карандашей из коробки, где всего 7 карандашей, включая 4 красных, описывается гипергеометрическим распределением. Это потому, что мы выбираем объекты без возвращения, и распределение учитывает количество успешных и неуспешных исходов в выборке.

Интегральная функция распределения F(x):

Интегральная функция распределения F(x) для гипергеометрического распределения вычисляется следующим образом:

$F(x)={\sum }_{i=0}^x\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4-x}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)}$

где $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ — биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать k объектов из n. Суммируем по всем возможным значениям X от 0 до x.

Ожидание (среднее значение) случайной величины:

Ожидание (математическое ожидание) E(X) гипергеометрического распределения вычисляется по формуле:

$E(X)=\frac{N_{\text{красные}}\cdot N_{\text{выборка}}}{N_{\text{всего}}}$

где:

• $N_{\text{красные}}$ — общее количество красных карандашей в коробке (4 в данном случае).
• $N_{\text{выборка}}$ — количество карандашей, которые мы извлекаем (3 в данном случае).
• $N_{\text{всего}}$ — общее количество карандашей в коробке (7 в данном случае).

Дисперсия случайной величины:

Дисперсия Var(X) для гипергеометрического распределения вычисляется по формуле:

$Var(X)=\frac{N_{\text{красные}}\cdot N_{\text{выборка}}\cdot (N_{\text{всего}}-N_{\text{выборка}})\cdot (N_{\text{всего}}-N_{\text{красные}})}{N_{\text{всего}}^2\cdot (N_{\text{всего}}-1)}$

где те же параметры, что и в формуле для ожидания.

Вероятность событий:

• Вероятность того, что X < 3 (то есть извлечено меньше трех красных карандашей), можно найти, вычислив $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ с использованием интегральной функции распределения.

• Вероятность того, что 0 < X ≤ 2 (то есть извлечено не больше двух красных карандашей), можно вычислить, вычитая $P(X=3)$ из вероятности X < 3.

Эти формулы позволяют найти все необходимые значения и вероятности для данной задачи.